【数列】cosnθ型の数学的帰納法の解き方を徹底解説！｜普通の帰納法では証明できない

みなさんどうも、こんにちは。今回は、$ \cos{n\theta} $型の数学的帰納法（3項間漸化式数学的帰納法）について解説していきます。

cosnθ型の数学的帰納法の解き方
cosnθ型の数学的帰納法
1. 例題：cosnθ型の数学的帰納法
  1. 補足：チェビシェフ多項式について
おわりに

cosnθ型の数学的帰納法の解き方

前々回、3項間漸化式数学的帰納法について解説しました。今回は、その応用例の1つである$ \cos{n\theta} $型の数学的帰納法について紹介します。

まず、3項間漸化式数学的帰納法について復習しましょう。3項間漸化式の数学的帰納法では、普通の帰納法は使うことができず、次のように証明するのでした。

3項間漸化式の数学的帰納法

（I）$n=1，2$のとき成立する

（II）$n=k，k+1$のとき成立すると仮定すると，$n=k+2$のときも成立する

なぜ、この帰納法で証明できるかは、前々回の記事をご参照ください。

【数列】3項間漸化式の数学的帰納法（一昨日帰納法）｜普通の帰納法は使えない

3項間漸化式の数学的帰納法（一昨日帰納法）を紹介します。

3項間漸化式の数学的帰納法の応用問題である$ \cos{n\theta} $型の数学的帰納法について考えます。

先にこの問題のポイントを言ってしまうと、次の式変形ができるかどうかです。

$ \cos{n\theta} $型の数学的帰納法のポイント

$$ \cos{ (n+2) \theta} = 2 \cos{\theta} \cos{ (n+1) \theta} – \cos{n \theta} $$

これが$ \cos{n\theta} $型の数学的帰納法における唯一にして最大のポイントです。これさえ押さえることができれば、あとは前々回やった3項間漸化式数学的帰納法と変わりません。

上の式は覚える必要はありません。和積公式から簡単に導くことができます。上式を導くのに使う和積公式は次の式となります。

和積公式

$$ \cos{A}+\cos{B} = 2 \cos{ \frac{A+B}{2} } \cos{ \frac{A-B}{2} } $$

導出

\begin{eqnarray*}
\cos{n\theta} + \cos{ (n+2) \theta} &=& 2 \cos{ \frac{n\theta+\{(n+2) \theta\} }{2} } \cos{ \frac{n\theta-\{ (n+2) \theta)\} }{2} } \\
&=& 2 \cos{\theta} \cos{ (n+1) \theta}
\end{eqnarray*}

移項すれば

$$ \cos{ (n+2) \theta} = 2 \cos{\theta} \cos{ (n+1) \theta} – \cos{n \theta} $$

となるので、和積公式を用いて簡単に導くことができました。

cosnθ型の数学的帰納法

では、実際に問題を見てみましょう。

例題：cosnθ型の数学的帰納法

例題

（1）$n$を自然数とする。三角関数の加法定理を用いて，等式
$$ \cos{ (n+2) \theta} + \cos{n \theta} = 2 \cos{\theta} \cos{ (n+1) \theta} $$
を導け。
（2）$ \cos{2 \theta} = T_2 (\cos{\theta}) $，$ \cos{3 \theta} = T_3 (\cos{\theta}) $を満たす整式$T_2 (x) $，$T_3 (x) $をそれぞれ求めよ。
（3）自然数$n$に対し，$ \cos{n \theta} = T_n (\cos{\theta}) $を満たす整数係数の$n$次の整式$T_n (x)$が存在することを示せ。

（埼玉大）

方針：（1）前節では、和積公式から求めましたが、本問では「加法定理を用いて」という指定があるので、和積公式の導出から行います。
（2）2倍角の公式，3倍角の公式から簡単に求められます。
（3）3項間漸化式の数学的帰納法を用いて証明します。

解答

（1）加法定理より
$$ \cos( \alpha + \beta ) = \cos{\alpha} \cos{\beta} – \sin{\alpha}\sin{\beta} $$
$$ \cos( \alpha – \beta ) = \cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta} $$
である。上式2式を足すと、
$$ \cos( \alpha + \beta ) + \cos( \alpha – \beta ) = 2 \cos{\alpha} \cos{\beta} $$
となる。$ \alpha = (n+1)\theta$，$ \beta = \theta $とすると、
$$ \cos{ (n+2) \theta} + \cos{n \theta} = 2 \cos{\theta} \cos{ (n+1) \theta} $$
となるので、与式は示された。

（2）倍角の公式より
$$ \cos{2\theta} = 2\cos^2{\theta} -1 $$
であるから，
$$ T_2 (x) = 2x^2 -1 $$
となる。また，3倍角の公式より
$$ \cos{3\theta} = 4\cos^2{\theta} -3 \cos{\theta} $$
となるから、
$$ T_3 (x) = 4x^3 -3x $$

（3）$ \cos{n \theta} = T_n (\cos{\theta}) $を満たす整数係数の$n$次の整式$T_n (x)$が存在することを数学的帰納法で示す。
（i）$n=1，2$のとき
$n=1$のとき、$ T_1 (\cos{\theta}) = \cos{\theta} $であるから、$ T_1 (x) =x $となり、成り立つ。$n=2$のときも(2)より成り立つ。
（ii）$n=k，k+1$のとき
$n=k，k+1$のとき、$T_k (x) $、$T_{k+1} (x) $が存在すると仮定する。
(1)より
$$ \cos{ (k+2) \theta} = 2 \cos{\theta} \cos{ (k+1) \theta} – \cos{k \theta} $$
であるから
$$ T_{k+2} (x) = 2 x T_{k+1} (x) – T_k (x) $$
仮定より、$T_k (x) $、$T_{k+1} (x) $が存在するので、$T_{k+2} (x) $は整数係数の多項式となる。よって、$T_{k+2} (x) $は存在する。
以上により、$ \cos{n \theta} = T_n (\cos{\theta}) $を満たす整数係数の$n$次の整式$T_n (x)$が存在することが示された。

補足：チェビシェフ多項式について

なお、例題(3)のような多項式のことを、チェビシェフ多項式といいます。

チェビシェフ多項式

$ \cos{n\theta}$は$ \cos{\theta}$の$n$次多項式で表せる

実際、

$ \cos {2\theta} = 2 \cos^2 {\theta} -1 $
$ \cos {3\theta} = 4 \cos^3 {\theta} -3 \cos{\theta} $
$ \cos {4\theta} = 8 \cos^4 {\theta} -8 \cos^2{\theta} +1 $

となり、$ \cos{n\theta}$が$ \cos{\theta}$の多項式で表せていることが分かると思います。$ x = \cos{\theta} $とおき、$ \cos{\theta}$の$n$次多項式を$ T_n (x) $で表せば、

$ T_2 (x) = 2 x -1 $
$ T_3 (x) = 4 x^3 -3 x $
$ T_4 (x) = 8 x^4 -8 x^2 +1 $

となります。一般に、この$ T_n (x) $をチェビシェフ多項式と呼びます。