こんにちは。今回は「円束」について解説していきます。
束の考え方
束とは、二つの図形（直線や円など）が交点を持つとき、その交点を通る他の図形の方程式を表す考え方となります。二つの図形が直線の場合を「直線束（ちょくせんそく）」、円の場合を「円束（えんそく）」といいます。特に、円束は入試でよく出題されますので、しっかり理解しておきましょう。
束とは、二つの図形（直線や円など）が交点を持つとき、その交点を通る他の図形の方程式を表す考え方
いきなり円束を勉強するのはハードルが高く難しいので、比較的簡単な直線束から勉強するのが良いかと思います。直線束について勉強したい方は次の記事をご覧ください。
円束とは
円束とは、二つの直線が交点を持つとき、その交点を通る他の円を表す考え方のことです。具体的には次のことを指すことが多いです。
\( x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \)は、\( k \)に関わらず2円
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2+ax+by+c=0 \\
x^2+y^2+px+qy+r=0
\end{array}
\right.
\]
の交点を通る。
また、\( x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \) は \( x^2+y^2+ax+by+c=0 \) と \( x^2+y^2+px+qy+r \) の交点を通る円を表す。（ただし、全ての円を表せるわけではなく、\( x^2+y^2+px+qy+r=0 \) は表せない）
特に後半の\( x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \) は \( x^2+y^2+ax+by+c=0 \) と \( x^2+y^2+px+qy+r=0 \) の交点を通る円を表すというのが大切で、実際に問題ではこの考え方を使うことになります。
円束の考え方について解説します。
2つの交点を表す円を表す理由
\( x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \) が\( k \)に関わらず成立するためには、
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2+ax+by+c=0 \\
x^2+y^2+px+qy+r=0
\end{array}
\right.
\]
となる必要があります。これは恒等式の考え方を用いています。
また、上の連立方程式の解は、\(x^2+y^2+ax+by+c=0 \) と\( x^2+y^2+px+qy+r=0 \) の交点を表していますよね。
すなわち、\( x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \) という方程式は \( x^2+y^2+ax+by+c=0 \) と \( x^2+y^2+px+qy+r=0 \) の交点を表す方程式になっています。
例えば、次の方程式
$$ x^2+y^2-9+ k(x^2+y^2-6x-6y+9) = 0 $$
は\(k\)の値に関わらず
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-9=0 \\
x^2+y^2-6x-6y+9=0
\end{array}
\right.
\]
の連立方程式の解を通ります。どのような \( k \) に対しても \( =0\) が成立するためには、上の連立方程式が成り立つ必要があるわけです（恒等式の考え方）。
すなわち、方程式 \(x^2+y^2-9+ k(x^2+y^2-6x-6y+9) = 0\) は点 \( (x,y)= (3，3) \)を通るということです。上の図の灰色の円を表しています。
\(k\)=-1のときは直線を表す
\( x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \) において、\(k=-1\) のときは2つの円の交点を通る直線を表します。
例えば、方程式 \(x^2+y^2-9+ k(x^2+y^2-6x-6y+9) = 0\) に \( k=-1 \)を代入すると、\( x+y-3 = 0 \) となりますが、これは2つの円の交点を通る直線となります。
このことを用いて、2円の交点を通る直線を求めることもできます。
以下の記事では、同値変形を用いて、2円の交点を求めています。
\( x^2+y^2+px+qy+r=0 \) は表せないことについて
\( x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \) は全ての円を表せるわけではなく、\( x^2+y^2+px+qy+r=0 \) は表すことができません。
これは、\( y = kx + b\) すなわち、\( kx -y+ b = 0\) で表される方程式が \(y\) 軸に平行な直線を表すことができないのと同じ理由です。
直線束 \( ax+by+c+k(px+qy+r)=0 \) のときも、すべての直線を表せるわけではなく、\( px+qy+r=0 \) を表すことができませんでしたね。これと同じです。
円束を \(k\) と \(l\) の2文字を用いて表して、紹介している参考書もあります。すなわち、 \( k (x^2+y^2+ax+by+c)+l(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \) と紹介することもありますが、これは\( x^2+y^2+px+qy+r=0 \) を表すことができないことを避けるためです。このように考えても良いですが、未知数が増えて式が煩雑になりやすいことや、\( x^2+y^2+px+qy+r = 0 \) を表すことができないことは数学的にはほとんど問題はないことなどを考えると、\( x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \) と1文字でおくだけで十分かと思います。
\( x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \) が \( x^2+y^2+px+qy+r = 0 \) を表すことができないことは数学的にはほとんど問題はないので、問題を解くときにはあまり気にせず、解いて大丈夫です。
円束を用いた2つの交点を通る円の表し方
以上のことがわかったら、実際に問題を解いていくことにしましょう。
例題：円束
2つの円 \(x^2+y^2=5\)，\(x^2+y^2+4x-4y-1=0\)について、2円の共有点と点（\(3，0\)）を通る円の方程式を求めよ。
方針
円束の考え方を使って求めます。すなわち、
\( x^2+y^2+ax+by+c=0 \) と \( x^2+y^2+px+qy+r=0 \) の交点を通る円は\( x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \) によって表すことができる
ことを使って求めます。
\(k\) を定数とする。\( x^2+y^2=5 \) と \( x^2+y^2+4x-4y-1=0 \) の交点を通る円は次の式で表すことができる。
$$ x^2+y^2-5+k(x^2+y^2+4x-4y-1)=0 …① $$
円①が点（\(3，0\)）を通るので、①に（\(3，0\)）を代入する。
$$ 9-5+k(9+12-1) = 0 $$
これより、
$$ k=\frac{1}{5} $$
これを①に代入すると、
$$ x^2+y^2-5+\frac{1}{5}(x^2+y^2+4x-4y-1)=0 $$
よって
$$ x^2+y^2-x+y-6 = 0 $$
補足
ここでは、補足事項として、例題の2円の交点を通る直線を求めてみようと思います。\( x^2+y^2=5 \) と \( x^2+y^2+4x-4y-1=0 \) の交点を通る円は次の式で表すことができます。
$$ x^2+y^2-5+k(x^2+y^2+4x-4y-1)=0 …①$$
\(k=-1\) のときは2つの円の交点を通る直線を表しますので、\(k=-1\) を①に代入すると、
$$ -x +y -1 = 0 $$
となります。これが2円の交点を通る直線になります。
演習：円束
\( xy \)平面上の2つの円\(C_1\)：\(x^2+y^2=25\)，\(C_2\)：\( (x-4)^2+(y-3)^2 = 2 \)について，
（1）\(C_1\)，\(C_2\)の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
（2）\(C_1\)，\(C_2\)の2つの交点を通り，点 \( (3，1)\) を通る円の方程式を求めよ。
まとめ
今回は「円束」について解説しました。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。
