【図形と方程式】通過領域の問題の解き方｜パラメータの解の存在条件で解く

今回は、通過領域の問題の解き方について解説していきます。

通過領域とは
おわりに

通過領域とは

通過領域の問題とは、パラメータの入った方程式が与えられて、その方程式が変化するときに、通りうる領域を求める問題のことです。

通過領域の問題は、解き方が決まっています。通過領域の問題は3つの解き方があります。

通過領域の解き方

① 解の存在条件

② ファクシミリ法（すだれ法）

③ 包絡線

①の「解の存在条件」の解法と②の「ファクシミリ法」は重要です。まずは①と②の解法を理解しましょう。

③の包絡線を使った方法は使える問題が限られている（使える問題が少ない）ので、解法を理解しても、あまり役に立たないと思います。また、包絡線を用いて解ける問題は、①か②の解法で解けます。包絡線を使った解法は余裕があれば、理解すれば良いと思います（必須ではない）。

一気に3つの解法を理解するのは大変ですから、この記事ではとりあえず①の「解の存在範囲」の解法で通過領域を求める方法で解説したいと思います。

通過領域の求め方

①の解法の場合、次の方法で通過領域は求めることができます。

通過領域の求め方

パラメータ $t$ についての方程式とみなし，解の存在条件を考える

すなわち、パラメータの方程式とみなして、判別式などを用いて、その解の存在範囲を考えます。

なぜ解の存在条件で考えるのか

では、なぜ解の存在条件を考えると、通過領域が求められるのでしょうか。

例として、次の問題を考えることにします。

例：解の存在条件

例

直線 $y=tx$ について，$t$ が $0 \leq t \leq 1$ の範囲で変化するとき，この直線が通りうる領域を図示せよ。

この程度の問題であれば、式変形をするまでもなく、答えを求められると思います。

$y=tx$ について、傾き $t$ が $0 \leq t \leq 1$ の範囲で変化するので、答えは下図のようになります。ただし、境界線を含みます。

唐突ですが、点 $ (3，1) $と点 $ (2，3) $について考えてみることにします。

点 $ (3，1) $と点 $ (2，3) $ が通過領域上の点かそれぞれ考えてみましょう。

点 $ (3，1) $は通過領域上の点か

点 $ (3，1) $は通過領域上の点でしょうか。図を見れば、通過領域上の点だとすぐに分かりますが、数式的には点 $ (3，1) $ が通過領域上の点であるとどのようにすれば分かるでしょうか。

点 $ (3，1) $ が通過領域上の点なのは、直線 $y=tx$ が点 $ (3，1) $ を通過することから分かります。

すなわち、$ t=\displaystyle \frac{1}{3} $ のとき、直線 $y=\displaystyle \frac{1}{3} x$ となり、点 $ (3，1) $ は通過します（$ t=\displaystyle \frac{1}{3} $ は $0 \leq t \leq 1$ の範囲内にあります）。

点 $ (2，3) $は通過領域上の点か

点 $ (2，3) $ は通過領域上の点でしょうか。図を見れば、通過領域上の点でないとすぐに分かりますが、数式的には点 $ (2，3) $ が通過領域上にない点であるとどのようにすれば分かるでしょうか。

仮に、$ t=\displaystyle \frac{3}{2} $ のとき、直線 $y=\displaystyle \frac{3}{2} x$ となり、点 $ (2，3) $は通過しますが、$ t=\displaystyle \frac{3}{2} $ は $0 \leq t \leq 1$ の範囲外の点です。そのため、点 $ (2，3) $ は通過しません。

すなわち、ある点が通過領域上にあるということは、点を通るような傾き $t$ が存在するということになります。点を通るような傾き $t$ というのは、元の方程式を $t$ についての方程式とみなしたときの解のことですから、結局、通過領域を求めるときには、パラメータ $t$ についての方程式とみなし、解の存在条件を考えればよいのです。

まとめ

点 $(x，y)$ が通過領域上の点
$ \downarrow $
$y=tx$ が $(x，y)$ を通る $ t $ が存在する
$ \downarrow $
$y=tx$ が成立する $ t $ が存在する
$ \downarrow $
パラメータ $ t $ についての方程式の解が存在する
$ \downarrow $
解の存在条件を考えればよい

すなわち、通過領域を求めるときには、パラメータ $t$ についての方程式とみなし、解の存在条件を考えればよいのです。

以上より、上記の例で通過領域を求めるためには、$tx-y=0$ の解が $0 \leq t \leq 1 $ に存在する条件を求めればよいということが分かります。

数式的に解く

では、例を数式的に解いてみることにしましょう。

例

直線 $y=tx$ について，$t$ が $0 \leq t \leq 1$ の範囲で変化するとき，この直線が通りうる領域を図示せよ。

方針
通過領域を求めるには、パラメータ $t$ についての方程式とみなし，解の存在条件を考えばよいのでした。すなわち、$tx-y=0$ の解が $0 \leq t \leq 1 $ に存在する条件を求めることになります。

$ f(x) = tx-y $とおく。$tx-y=0$ の解が $0 \leq t \leq 1 $ に存在するには、$f(0)\leq0$かつ$f(1)\geq0$または$f(0)\geq0$かつ$f(1)\leq0$となればよいです。

すなわち、解をもつ条件は

$$ f(0)f(1) \leq 0 $$

となります。すなわち、

$$ y(x-y) \geq 0 $$

です。これを図示すると、下図のようになる。ただし、境界線を含む。

ある参考書では、この方法で通過領域で求めることを「逆手流」と書いてあります。

例題：通過領域

例題

直線 $y=2ax+a^2$ について，$a$ がすべての実数値をとって変化するとき，この直線が通りうる領域を図示せよ。

方針
通過領域を求めるには、パラメータ $a$ についての方程式とみなし，解の存在条件を考えばよいのでした。すなわち、$a^2+2xa-y=0$ の解が存在する条件を、判別式を用いて求めることになります。

解答

与式を $a$ について整理すると、

$$ a^2+2xa-y=0 $$

点$ (x，y) $が通過領域上の点であるための条件は、$ a^2+2xa-y=0 $ が成立する実数 $a$ が存在することである。すなわち、$ a^2+2xa-y=0 $ の解 $a$ が実数の範囲に少なくとも一つ存在すればよい。
すなわち、判別式を $D$ とすると、
$$ \frac{D}{4} = x^2 – (-y) \geq 0 $$
ゆえに
$$ y \geq -x^2 $$
求める領域は下図のようになる。ただし、境界線を含む。

演習：通過領域

演習

$k$を実数とする。直線$L$を $y=kx+1-k-k^2$ とする。$k$ の値が実数全体を動くとき，直線 $L$ が通る範囲を求め，図示せよ。

演習の答え

与式を $k$ について整理すると、

$$ k^2-(x-1)k+y-1=0 $$

点$ (x，y) $が通過領域上の点であるための条件は、$ k^2-(x-1)k+y-1=0 $ が成立する実数 $k$ が存在することである。すなわち、$ k^2-(x-1)k+y-1=0 $ の解 $k$ が実数の範囲に少なくとも一つ存在すればよい。
すなわち、判別式を $D$ とすると、
$$ D = (x-1)^2 – 4(y-1) \geq 0 $$
ゆえに
$$ y \geq \frac{1}{4} (x-1)^2+1 $$
求める領域は下図のようになる。ただし、境界線を含む。