今回は、漸化式の一般解を特殊解を用いて求める方法について解説していきます。
漸化式の一般解を特殊解を用いて求める方法
漸化式の一般解を特殊解を用いて求める方法について解説します。
特殊解とは
まずは、特殊解というものについて解説します。数学をよく勉強している人なら、聞いたことのある言葉ではないでしょうか。数学Aの整数の分野で見聞きした言葉かと思います。
特殊解とは、無数に解をもつ方程式の1つの解のことをいいます。
特殊解とは
ある方程式が無数の解を持つとき、その1つの解のこと
例えば、次の方程式の整数解を考えます。
$$ 4x+7y =1 $$
上の方程式は無数に解を持ちます。\(x=2\)，\(y=-1\) は上の方程式の一つの解で、特殊解になります。
数列の特殊解
これまでは、方程式の特殊解について考えてきましたが、数列においても同様に考えることができます。漸化式 \(a_{n+1}=pa_n+f(n) \) においても、数列 \(\{a_n\}\) についての方程式とみなすと、初項の条件がない場合、無数の解を持ちます。このうちの一つの解となる数列を特殊解と呼びます。
例えば、次の漸化式を考えます。
例 次の漸化式の特殊解を考えよう。
$$ a_{n+1} = 2a_n + 3^n $$
この漸化式は、初項の条件が与えられていませんので、数列 \(\{a_n\}\) についての方程式とみなすと、無数の解をもちます。この漸化式において、数列 \( \{3^n\} \) は特殊解になります。なぜなら、
（左辺）\(= a_{n+1} = 3^{n+1} \)
（右辺）\(= 2a_n + 3^n = 2・ 3^n+3^n = 3^{n+1}\)
となり、（左辺）＝（右辺）が成り立つからです。よって、数列 \( \{3^n\} \) は特殊解です。
次の漸化式はどうでしょうか。
例 次の漸化式の特殊解を考えよう。
$$ a_{n+1} = 2a_n -n + 1$$
この漸化式は、初項の条件が与えられていませんので、数列 \(\{a_n\}\) についての方程式とみなすと、無数の解をもちます。この漸化式において、数列 \( \{n\} \) は特殊解になります。なぜなら、
（左辺）\(= a_{n+1} = n+1 \)
（右辺）\(= 2a_n -n + 1 = 2n -n + 1 = n+1\)
となり、（左辺）＝（右辺）が成り立つからです。よって、数列 \( \{n\} \) は特殊解です。
特殊解を用いると一般項を簡単に求められる
特殊解を用いると、一般項を簡単に求めることができます。漸化式 \(a_{n+1}=pa_n+f(n) \) の特殊解が \(\{b_n\}\) と求められたとします。このとき、
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+1} = pa_n+f(n) …① \\
b_{n+1} = pb_n+f(n) …②
\end{array}
\right.
\]
①ー②より
$$ a_{n+1} – b_{n+1} = p(a_n-b_n) $$
このように、\(f(n)\) が消え、公比 \(p\) の等比数列に持ち込むことができるのです！
一般的な解法よりもこのやり方の方が簡単に求められることの方が多いです。
特殊解の求め方
上記のように、特殊解を用いて数列の一般項を求める場合、特殊解を求める必要があります。一般に、漸化式 \(a_{n+1}=pa_n+f(n) \) の特殊解は、\(f(n)\) と似た形となります。すなわち、\(f(n)\) と似た形を代入していき、調べれば良いのです。
漸化式 \(a_{n+1}=pa_n+f(n) \) の特殊解は、\(f(n)\) と似た形から調べる
具体的には次のようになります。
| 漸化式 | 特殊解 |
| \(a_{n+1}=pa_n+\)定数 | 定数 |
| \(a_{n+1}=pa_n+\)多項式 | 同じ次数の多項式 |
| \(a_{n+1}=pa_n+cq^n\) （\(p\ne q\)） | $$kq^n$$ |
| \(a_{n+1}=pa_n+cp^n\) | $$knp^n$$ |
なお、\(c\) および \(k\) は定数です。
例題と演習
では、実際に例題と演習をやっていきましょう。
例題1：\(a_{n+1}=pa_n+cq^n\)型の漸化式
次の数列の一般項を求めよ。
$$ a_1 =5，a_{n+1}=2a_n+3^n $$
方針
\(b_n=c・3^n\) が特殊解となるように \(c\) を定めると、
\begin{eqnarray*} c・3^{n+1} &=& 2c・3^n+3^n \\
3c &=& 2c+1 \\
c &=& 1
\end{eqnarray*}
となるので、数列 \( \{3^n\} \) が特殊解となります。あとは、並べて等比数列に持ち込みます。
数列 \(a_n\) は \( \{3^n\} \) が特殊解である。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+1} = 2a_n+3^n …① \\
3^{n+1} = 2・3^n+3^n …②
\end{array}
\right.
\]
①ー②より
$$ a_{n+1} – 3^{n+1} = 2(a_n-3^n) $$
数列 \( \{a_n-3^n \} \) は公比2の等比数列であるから、
\begin{eqnarray*} a_n-3^n &=& (a_1 – 3^1)・2^{n-1} \\
&=& (5-3)・2^{n-1} \\
&=& 2^n
\end{eqnarray*}
よって、
$$ a_n = 2^n+3^n $$
なお、一般的な解答は次のようになります。
両辺を \(3^{n+1}\) で割ると
\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} &=& \frac{2a_n}{3^{n+1}}+\frac{3^n}{3^{n+1}} \\
\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} &=& \frac{2}{3}・\frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}
\(b_n = \displaystyle \frac{a_n}{3^n}\) とおくと、
$$ b_{n+1} = \frac{2}{3} b_n +\frac{1}{3} ，b_1 =\frac{a_1}{3}=\frac{5}{3} $$
よって、
$$ b_{n+1} – 1 = \frac{2}{3} (b_n-1) $$
数列 \( \{b_n-1\} \) は公比 \( \displaystyle \frac{2}{3} \) の等比数列であるから、
\begin{eqnarray*} b_n – 1 &=& (b_1 – 1)・\left ( \frac{2}{3} \right )^{n+1} \\
&=& \left ( \frac{2}{3} \right )^n \\
b_n &=& \left ( \frac{2}{3} \right )^n +1
\end{eqnarray*}
\(b_n = \displaystyle \frac{a_n}{3^n}\) であるから、
$$ a_n = 2^n+3^n $$
このように、漸化式の一般解を特殊解を用いて求める方法は一般的な方法と比べて簡単に求められることが多いです。
例題2：\(a_{n+1}=pa_n+\) 多項式型の漸化式
次の数列の一般項を求めよ。
$$ a_1 =1，a_{n+1}=3a_n-4n $$
方針
\(b_n=pn+q\) が特殊解となるように \(p，q\) を定めると、
\begin{eqnarray*} p(n+1)+q &=& 3(pn+q)-4n \\
pn + (p+q) &=& (3p-4)n + 3q
\end{eqnarray*}
すべての \(n\) について成り立つので、
\[
\left\{
\begin{array}{l}
p = 3p -4 \\
p+q = 3q
\end{array}
\right.
\]
よって、\(p=2\)，\(q=1\)
以上より、数列 \( \{2n + 1\} \) が特殊解となります。あとは、並べて等比数列に持ち込みます。
数列 \(a_n\) は \( \{2n + 1\} \) が特殊解である。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+1}=3a_n-4n …① \\
2 (n+1) + 1 = 3 (2n+1) – 4n …②
\end{array}
\right.
\]
①ー②より
$$ a_{n+1} – 2(n+1) – 1 = 3(a_n – 2n -1 ) $$
数列 \( \{a_n – 2n -1 \} \) は公比3の等比数列であるから、
\begin{eqnarray*} a_n – 2n -1 &=& (a_1 – 2 – 1 )・3^{n-1} \\
&=& (1 – 2 – 1 )・3^{n-1} \\
&=& -2・3^{n-1}
\end{eqnarray*}
よって、
$$ a_n = -2・3^{n-1} +2n +1 $$
なお、一般的な解答は次のようになります。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+2}=3a_{n+1} – 4 (n+1) …① \\
a_{n+1}=3a_n-4n …②
\end{array}
\right.
\]
①ー②より、
$$ a_{n+2} – a_{n+1} = 3 (a_{n+1} – a_n ) -4 $$
\(b_n = a_{n+1} – a_n\) とおくと、
$$ b_{n+1} = 3 b_n -4，b_1 =a_2 -a _1= (3-4) -1 =-2 $$
よって、
$$ b_n = (-4)・3^{n-1} + 2 $$
ゆえに、
$$ a_{n+1} – a_n = (-4)・3^{n-1} + 2 $$
また、与式より
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+1} – a_n = (-4)・3^{n-1} + 2 …① \\
a_{n+1} – 3a_n = -4n …②
\end{array}
\right.
\]
①ー②より
$$ a_n = (-2)・3^{n-1} + 2n + 1 $$
なお、\( a_{n+1} – a_n = (-4)・3^{n-1} + 2 \) 以降は階差数列の公式から求めることもできます。
\(n \geq 2\) のとき
\begin{eqnarray*} a_n &=& a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \{(-4)・3^{k-1} + 2\} \\
&=& 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \{(-4)・3^{k-1} + 2\} \\
&=& 1 + (-4)・\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} + \sum_{k=1}^{n-1} 2 \\
&=& 1 -4・\frac{1-3^{n-1}}{1-3} + 2 (n-1)
\end{eqnarray*}
よって、\(n \geq 2\) のとき
$$ a_n = (-2)・3^{n-1} + 2n + 1 $$
これは \(n=1\) のときでも成り立つ。
以上より、
$$ a_n = (-2)・3^{n-1} + 2n + 1 $$
演習：漸化式
次の数列の一般項を求めよ。
$$ a_1=2，a_{n+1} = 3 a_n +2n^2-2n-1 $$
おわりに
今回は、漸化式の一般解を特殊解を用いて求める方法について解説しました。ぜひ、マスターしてください。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。
