3項間漸化式の解き方について解説していきます。
3項間漸化式の解き方
\( a_{n+2}-a_{n+1} – 6 a_n =0\) のように、\(a_n\)、\(a_n{n+1}\)、\(a_{n+2}\) の3項の間に成り立つ関係式を3項間漸化式と呼びます。
3項間漸化式の解き方のまとめ
まず、3項間漸化式の解き方について解説していきます。解き方をまとめると次のようになります。
$$ a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n} = 0 $$
① まず、\(a_{n+2}\)を\(x^2\)、\(a_{n+1}\)を\(x\)をおきかえた次の2次方程式（特性方程式）を解く。
$$ x^2+px+q = 0 $$
この解を \(\alpha\)、\(\beta\) とおく。
② \(\alpha \ne \beta\) のとき
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+2} – \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} – \alpha a_n) \\
a_{n+2} – \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} – \beta a_n)
\end{array}
\right.
\]
と変形できる。
ここで、特性方程式の解 \(\alpha\)、\(\beta\) を用いると、
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+2} – \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} – \alpha a_n) \\
a_{n+2} – \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} – \beta a_n)
\end{array}
\right.
\]
と変形できる理由を説明します。
解と係数の関係より、
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha + \beta = -p \\
\alpha \beta = q
\end{array}
\right.
\]
が成り立ちます。よって、漸化式 \(a_{n+2}+p a_{n+1} + q a_n = 0 \) は
$$ a_{n+2} – (\alpha+\beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0 $$
と変形できます。一方で、
$$ a_{n+2} – \alpha a_{n+1} – \beta (a_{n+1} – \alpha a_{n}) = a_{n+2} – (\alpha+\beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0 $$
となるので、
$$ a_{n+2} – \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} – \alpha a_n) $$
が成り立ちます。同様にして、
$$ a_{n+2} – \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} – \beta a_n) $$
が成り立ちます。
特殊解が重解のとき
特性方程式の特殊解が重解となるときは次のように解きます。
$$ a_{n+2} – \alpha a_{n+1} = \alpha(a_{n+1} – \alpha a_n) $$
数列 \( \{ a_{n+1} – \alpha a_n \} \) は、公比 \(\alpha\) の等比数列であるから、
$$ a_{n+1} – \alpha a_n = \alpha^{n-1} (a_2 – \alpha a_1) $$
となります。なお、ここで初項・公比\({}^{n-1}\)を利用しました。
このようにして、\(a_{n+1}=pa_n+cq^n\) 型の漸化式に帰着されるので、解くことができます。
例題と演習
では、実際に例題を見てみましょう。
例題1：3項間漸化式
数列 {\(a_n\)} が次の条件によって定められるとき、一般項 \(a_n\) を求めよ。
$$ a_1 =0，a_2=1，a_{n+2}-a_{n+1} – 6 a_n =0 $$
方針
まず、\(a_{n+2}\)を\(x^2\)、\(a_{n+1}\)を\(x\)をおきかえた次の2次方程式（特性方程式）を解く。
$$ x^2-x-6 = 0 $$
$$ (x-3)(x+2)=0 $$
この解は ー2、3 である。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+2} +2 a_{n+1} = 3(a_{n+1} +2 a_n) \\
a_{n+2} – 3 a_{n+1} = -2 (a_{n+1} – 3 a_n)
\end{array}
\right.
\]
あとはこの漸化式を解く。
与えられた漸化式は次のように2通りに変形できる。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+2} +2 a_{n+1} = 3(a_{n+1} +2 a_n) …(1)\\
a_{n+2} – 3 a_{n+1} = -2 (a_{n+1} – 3 a_n) …(2)
\end{array}
\right.
\]
(1)式より数列 \( \{ a_{n+1} +2 a_n \} \) は初項 \(a_2+2a_1=1 \)、公比3の等比数列であるから、
$$ a_{n+1} +2 a_n = 3^{n-1} …(3)$$
同様に、(3)式より数列 \( \{ a_{n+1} -3 a_n \} \) は初項 \(a_2-3a_1=1 \)、公比ー2の等比数列であるから、
$$ a_{n+1} -3 a_n = (-2)^{n-1} …(4)$$
(3)ー(4)から
$$ 5 a_n = 3^{n-1} – (-2)^{n-1} $$
よって
$$ a_n = \frac{1}{5} (3^{n-1} – (-2)^{n-1}) $$
次に、特殊解が重解を持つ場合を考えてみたいと思います。
例題2：特殊解が重解を持つ3項間漸化式
数列 {\(a_n\)} が次の条件によって定められるとき、一般項 \(a_n\) を求めよ。
$$ a_1 =1，a_2=3，a_{n+2}-4a_{n+1} +4 a_n =0 $$
方針
まず、\(a_{n+2}\)を\(x^2\)、\(a_{n+1}\)を\(x\)をおきかえた次の2次方程式（特性方程式）を解く。
$$ x^2-4x+4 = 0 $$
$$ (x-2)^2=0 $$
この解は2である（重解）。
$$ a_{n+2} – 2 a_{n+1} = 2 (a_{n+1} -2 a_n) $$
あとはこの漸化式を解く。
与えられた漸化式は次のように変形できる。
$$ a_{n+2} – 2 a_{n+1} = 2 (a_{n+1} -2 a_n) $$
数列 \( \{ a_{n+1} – 2 a_n \} \) は、公比 2 の等比数列であるから、
$$ a_{n+1} -2 a_n = 2^{n-1} (a_2 – 2 a_1) $$
すなわち、
$$ a_{n+1} = 2 a_n+2^n $$
両辺 \(2^{n+1}\) で割ると
$$ \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2} $$
数列 \( \displaystyle \frac{a_n}{2^n} = b_n \) とおくと
$$ b_{n+1} = b_n+\frac{1}{2} $$
数列 \({b_n}\)は、公差 \( \displaystyle \frac{1}{2} \) の等比数列であるから、
$$ b_n = \frac{a_1}{2} + \frac{1}{2}(n-1) = \frac{1}{2} (n-1) $$
よって、
$$ a_n = 2^n・\frac{1}{2} (n-1) = (n-1)・2^{n-1} $$
演習：3項間漸化式
数列 {\(a_n\)} が次の条件によって定められるとき、一般項 \(a_n\) を求めよ。
（1）\( a_1 =1，a_2=4，a_{n+2}-5a_{n+1} +6 a_n =0 \)
（2）\( a_1 =1，a_2=6，a_{n+2}-4a_{n+1} +4 a_n =0 \)
おわりに
今回は3項間漸化式の解き方について解説しました。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。
