【数列】フィボナッチ数列と一般項の求め方を解説！｜フィボナッチ数列と黄金比との関係

与えられた漸化式は、$$ \alpha = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} ，\beta = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} $$とおくと、次のように2通りに変形できる。

\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+2} – \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} – \alpha a_n) …(1)\\
a_{n+2} – \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} – \beta a_n) …(2)
\end{array}
\right.
\]

(1)式より数列 \( \{ a_{n+1} – \alpha a_n \} \) は初項 \(a_2 – \alpha a_1= 1- \alpha \)、公比 \( \beta\) の等比数列であるから、

$$ a_{n+1} – \alpha a_n = \beta^{n-1} ( 1- \alpha ) …(3)$$

同様に、(2)式より数列 \( \{ a_{n+1} – \beta a_n \} \) は初項 \(a_2- \beta a_1=1 – \beta \)、公比 \( \alpha\) の等比数列であるから、

$$ a_{n+1} – \beta a_n = \alpha^{n-1} ( 1- \beta )…(4)$$

(4)ー(3)から

$$ (\alpha-\beta) a_n = \alpha^{n-1} ( 1- \beta ) – \beta^{n-1} ( 1- \alpha ) $$

よって

$$ a_n = \frac{1- \beta}{\alpha-\beta} \alpha^{n-1} – \frac{1- \alpha}{\alpha-\beta} \beta^{n-1}$$

\( \displaystyle \alpha = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} ，\beta = \frac{1- \sqrt{5}}{2} \)であるから、

$$ a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left \{ \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^n – \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right )^n \right \}$$

与えられた漸化式の一般項は$$ \alpha = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} ，\beta = \frac{1- \sqrt{5}}{2} $$とおくと、次のようになる。

$$ a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}( \alpha^n – \beta^n )$$

よって、

$$ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\alpha^{n+1} – \beta^{n+1}}{\alpha^n – \beta^n} $$

分子分母 \(\alpha^n\) で割ると、

$$ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\alpha – \beta \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}{1 -\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n} $$

\(\alpha>\beta\) より、\( n \to \infty \) のとき、\( \displaystyle \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n \to 0\)となるので、

$$ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \alpha $$

となる。よって、

$$ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} $$