【確率】数列として表される確率の最大と最小の求め方｜比をとり1と比較・階差数列の符号を調べよ！

今回は、数列として表される確率の最大と最小の求め方について解説していきます。

数列として表される確率の最大と最小の求め方
例題と演習
1. 例題：数列として表される確率の最大、最小
2. 演習：数列として表される確率の最大、最小
おわりに

数列として表される確率の最大と最小の求め方

数列として表される確率の最大、最小の解き方を解説していきます。

数列として表される確率の最大、最小の解き方

数列として表される確率の最大、最小ですが、主に2つの解き方があります。どちらか好きな方の解き方で大丈夫です。ただし、誘導がある場合はその誘導に従ってください。

数列として表される確率の最大、最小の解き方

解き方１

階差数列 $ \{p_{n+1} – p_n \} $ の符号を調べる

解き方2

$ \displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n} $ を調べ、1と比較する

どちらの解き方でも解くことができます。

階差数列の符号を調べる

数列 $ \{p_n\} $として表される確率の最大、最小は階差数列 $ \{p_{n+1} – p_n \} $ の符号を調べることによって求めることができます。

例えば、階差が次のような符号変化となっていたとします。

このように $p_4$ まで階差の符号がプラスでそれ以降がマイナスであれば、$p_4$ までは増加、$p_5$ 以降は減少に転じるので、$p_4$ が最大値となります。

ポイント

$ p_{n+1}-p_n>0 \Rightarrow \{ p_n \} $ は増加

$ p_{n+1}-p_n<0 \Rightarrow \{ p_n \} $ は減少

このように階差数列の符号を調べることで最大（最小）を求めることができます。

$ \displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n} $ を調べる

数列 $ \{p_n\} $として表される確率の最大、最小は $ \displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n} $ を調べることによって求めることができます。

$ \displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n} > 1 $ は変形すると、$ p_{n+1}>p_n $ となるので、数列 $ \{p_n\} $ の増加を意味します。

一方で、$ \displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n} < 1 $ は変形すると、$ p_{n+1}<p_n $ となるので、数列 $ \{p_n\} $ の減少を意味します。

ポイント

$ \displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}>1 \Rightarrow \{ p_n \} $ は増加

$ \displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}<1 \Rightarrow \{ p_n \} $ は減少

例えば、$ \displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n} > 1 $ が$n=1，2，3，4$ で成り立ち、$ \displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n} < 1 $ が$n=5，6，…$ で成り立つとき、

\[
\left\{
\begin{array}{l}
p_1 < p_2<p_3<p_4<p_5 \\
p_5>p_6>p_7>…
\end{array}
\right.
\]

となるので、$n=5$ で $p_n$ は最大となります。

コンビネーションの公式

数列で表される確率の問題では、次の公式を使うことが多いです。

公式

$$ {}_n \mathrm{C}_r = \displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

この公式を知らないと解くことができないことが多いので、この公式は覚えておく（もしくは思い出せる）ようにしておきましょう。

例えば、次の計算を考えてみましょう。

$$ {}_7 \mathrm{C}_3 = \displaystyle \frac{7・6・5}{3・2・1} $$

皆さんは上記のように計算することが多いかと思いますが、分母分子に4!をかけると次のようになります。

$$ {}_7 \mathrm{C}_3 = \displaystyle \frac{7・6・5・4・3・2・1}{3・2・1・4・3・2・1} = \frac{7!}{3!×4!} $$

これは公式を用いた計算の仕方となっています。このように、具体例から考えると、公式は思い出しやすくなります。

なお、この公式ゆえに、数列で表される確率の問題はかなり計算が煩雑となります。きちんと計算力をつけておきましょう。

実際に具体例で見ていくことにしましょう。

例題と演習

では、例題を見ていきます。

例題：数列として表される確率の最大、最小

例題

袋の中に白玉20個、赤玉50個入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を調べてから袋に戻す。これを40回繰り返す。このとき、白玉が $r$ 回取り出される確率を $p_r$ とする（$r=0，1，2，…，40$）。このとき、$p_r$ が最大となる $r$ を求めよ。

（早稲田大）

方針1
階差数列 $ \{p_{n+1} – p_n \} $ の符号を調べて求めます。

方針2
$ \displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n} $ を調べて求めます。

解答1（階差数列を利用）

確率 $p_r$ は、反復試行の確率より、

\begin{eqnarray*} p_r & =& {}_{40} \mathrm{C}_r \left( \frac{2}{7} \right)^r \left( \frac{5}{7} \right)^{40-r} \\
& = & \frac{40!}{r! (40-r)!}・\frac{2^r}{7^r}・\frac{5^{40-r}}{7^{40-r}} \\
& = & \frac{40!・2^r・5^{40-r}}{r! (40-r)!・7^{40}}
\end{eqnarray*}

これより、

\begin{eqnarray*} p_{r+1} – p_r & =& \frac{40!・2^r・5^{40-r}}{7^{40}} \left( \frac{2・5^{-1}}{(r+1)! (39-r)!} – \frac{1}{r! (40-r)!} \right) \\
& = & \frac{40!・2^r・5^{40-r}}{7^{40}・r!・(39-r)!} \left( \frac{2}{5(r+1)} – \frac{1}{40-r} \right)
\end{eqnarray*}

$ p_{r+1} – p_r > 0 $ を解くと、

\begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{2}{5(r+1)} – \frac{1}{40-r} & > & 0 \\
r & < & \frac{75}{7}
\end{eqnarray*}

同様に、$ p_{r+1} – p_r < 0 $ を解くと、

\begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{2}{5(r+1)} – \frac{1}{40-r} & < & 0 \\
r & > & \frac{75}{7}
\end{eqnarray*}

以上より、

\[
\left\{
\begin{array}{l}
p_0<p_1 < p_2<…<p_{10}<p_{11} \\
p_{11}>p_{12}>p_{13}>…>p_{40}
\end{array}
\right.
\]

よって、$p_r$ が最大となる $r$ は

$$ r=11 $$

解答2（比を利用）

確率 $p_r$ は、反復試行の確率より、

これより、

\begin{eqnarray*} \frac{p_{r+1}}{p_r} & =& \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{40!・2^{r+1}・5^{39-r}}{(r+1)! (39-r)!・7^{40}}}{\displaystyle \frac{40!・2^r・5^{40-r}}{r! (40-r)!・7^{40}}} \\
& = & \frac{2(40-r)}{5(r+1)}
\end{eqnarray*}

$ \displaystyle \frac{p_{r+1}}{p_r} >1 $ を解くと、

\begin{eqnarray*} \frac{2(40-r)}{5(r+1)} & > & 1 \\
r & < & \frac{75}{7}
\end{eqnarray*}

同様に、$ \displaystyle \frac{p_{r+1}}{p_r} < 1 $ を解くと、

\begin{eqnarray*} \frac{2(40-r)}{5(r+1)} & < & 1 \\
r & > & \frac{75}{7}
\end{eqnarray*}

以上より、

\[
\left\{
\begin{array}{l}
p_0<p_1 < p_2<…<p_{10}<p_{11} \\
p_{11}>p_{12}>p_{13}>…>p_{40}
\end{array}
\right.
\]

よって、$p_r$ が最大となる $r$ は

$$ r=11 $$

演習：数列として表される確率の最大、最小

演習

さいころ続けて100回投げるとき、1の目がちょうど $k$ 回（$0 \leq k \leq 100 $）出る確率が最大となる $ k $ の値を求めよ。

（慶應大）

演習の答え1（階差数列を利用）

さいころ続けて100回投げるとき、1の目がちょうど $k$ 回（$0 \leq k \leq 100 $）出る確率を $p_k$ とする。確率 $p_k$ は、反復試行の確率より、

\begin{eqnarray*} p_k & =& {}_{100} \mathrm{C}_k \left( \frac{1}{6} \right)^k \left( \frac{5}{6} \right)^{100-k} \\
& = & \frac{100!}{k! (100-k)!} \left( \frac{1}{6} \right)^k \left( \frac{5}{6} \right)^{100-k} \\
& = & \frac{100!}{k! (100-k)!} ・\frac{5^{100-k}}{6^{100}}
\end{eqnarray*}

これより、

\begin{eqnarray*} p_{k+1} – p_k & =& \frac{100!}{6^{100}} \left(\frac{5^{99-k}}{(k+1)! (99-k)!} – \frac{5^{100-k}}{k! (100-k)!} \right) \\
& = & \frac{100!・5^{99-k}}{6^{100} k! (99-k)!} \left(\frac{1}{k+1} – \frac{5}{100-k} \right)
\end{eqnarray*}

$ p_{k+1} – p_k > 0 $ を解くと、

\begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{1}{k+1} – \frac{5}{100-k} & > & 0 \\
k & < & \frac{95}{6}
\end{eqnarray*}

同様に、$ p_{k+1} – p_k < 0 $ を解くと、

\begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{1}{k+1} – \frac{5}{100-k} & < & 0 \\
r & > & \frac{95}{6}
\end{eqnarray*}

以上より、

\[
\left\{
\begin{array}{l}
p_0<p_1 < p_2<…<p_{15}<p_{16} \\
p_{16}>p_{17}>p_{18}>…>p_{100}
\end{array}
\right.
\]

よって、$p_k$ が最大となる $k$ は

$$ k=16 $$

演習の答え2（比を利用）

さいころ続けて100回投げるとき、1の目がちょうど $k$ 回（$0 \leq k \leq 100 $）出る確率を $p_k$ とする。確率 $p_k$ は、反復試行の確率より、

これより、

\begin{eqnarray*} \frac{p_{k+1}}{p_k} & =& \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{100!}{(k+1)! (99-k)!} ・\frac{5^{99-k}}{6^{100}}}{\displaystyle \frac{100!}{k! (100-k)!} ・\frac{5^{100-k}}{6^{100}}} \\
& = & \frac{100-k}{5k+5}
\end{eqnarray*}

$ \displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k} >1 $ を解くと、

\begin{eqnarray*} \frac{100-k}{5k+5} & > & 1 \\
r & < & \frac{95}{6}
\end{eqnarray*}

同様に、$ \displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k} < 1 $ を解くと、

\begin{eqnarray*} \frac{100-k}{5k+5} & < & 1 \\
r & > & \frac{95}{6}
\end{eqnarray*}

以上より、

\[
\left\{
\begin{array}{l}
p_0<p_1 < p_2<…<p_{15}<p_{16} \\
p_{16}>p_{17}>p_{18}>…>p_{100}
\end{array}
\right.
\]

よって、$p_k$ が最大となる $k$ は

$$ k=16 $$