【場合の数】重複順列と重複組合せの使い方｜区別をするのかしないのか

（1）
（i）
箱3個から玉6個を選ぶ重複順列であるから、
\(3^6=729\)（通り）

（ii）
空箱の分け方は
（a）空箱が2個のとき
（b）空箱が1個のとき
の2つの場合がある。
（a）の場合は3通りである。
（b）の場合は、空箱の決め方が3通りあり、残った箱に少なくとも1個配れるようにすると、
\( 3×(2^6-2)=3×62=186 \)（通り）
以上より、
\(729-(3+186)=540\)（通り）

（2）
（i）
箱3個から玉6個を選ぶ重複組合せである。6個の◯と2個の｜による順列の総数に帰着されるので、
\( {}_8 \mathrm{C}_2 = 28 \)（通り）

（ii）
求めるものは、6個の◯と2個の｜の順列のうち、｜が両端に来ず、｜が隣り合わない順列の総数である。これは、まず、6個の◯を並べ、2個の｜をすき間に入れることを考えると、

\( {}_5 \mathrm{C}_2 = 10 \)（通り）

（3）
（i）
区別のつく6個の玉を区別のつく3つの箱に空箱ができてもよいように入れる方法は、
\(3^6=729\)（通り）
このうち、全てのボールが1つの箱に入る3通りは、箱の区別をなくすと1通りとなる。
一方で、残りの726通りは箱の区別をなくすと、3!個ずつ同じものと見なされる。
以上より、

\( \frac{3}{3}+\frac{726}{6} = 122 \)（通り）

（ii）
区別のつく6個の玉を区別のつく3つの箱に空箱ができないように入れる方法は、（1）の（ii）より540（通り）
箱の区別をなくすと、3!個ずつ同じものと見なされる。
以上より

\(\frac{540}{6}=90\)（通り）

（4）
（i）空の箱があっても良いとき、小さい順に書き出すと、次のようになる。

よって、求める答えは7（通り）

（ii）少なくとも1個は入れるとき、小さい順に書き出すと、次のようになる。

よって、求める答えは3（通り）