今回は、辞書式配列の公式について解説します。
辞書式に並べる順列の公式
辞書式に並べる順列（辞書式配列）の公式ついて解説します。
辞書式配列とは
辞書式配列の問題とは、文字をアルファベット順に並べる問題のことをいいます。本記事では、
文字を辞書式に配列したときに、〜は何番目かという問題について扱います。
辞書式配列の公式
次がある文字列が何番目にくるかを求める公式（辞書式配列公式）になります。
異なる \(n\) 個から \(r\) 個取り出す辞書式配列において、右側にある自分より前にある文字の個数 \(p\)，\(q\)，\(r\)，… とすると、求める答えは、
$$ p×{}_{n-1} \mathrm{P}_{r-1}+q×{}_{n-2} \mathrm{P}_{r-2} + r×{}_{n-3} \mathrm{P}_{r-3}+…+1 $$
| 文字列 | |||
| 右側にある自分より 前にある文字の個数 | $$p$$ | $$q$$ | $$r$$ |
| 重み | $${}_{n-1} \mathrm{P}_{r-1}$$ | $${}_{n-2} \mathrm{P}_{r-2}$$ | $$ {}_{n-3} \mathrm{P}_{r-3} $$ |
公式だけ見ても、使い方がよく分からないと思いますので、例題を見つつ、使い方を確認しましょう。
例題と演習
では、例題を見ていきましょう。
例題：辞書式配列の公式
a，b，c，d，eの5文字をアルファベット順に並べるとき、cbedaは何番目か。
方針
辞書式配列の公式を使います。
・右側にある自分より前にある文字の個数
左側の文字から順に考えていきます。
c…cbeda（2文字）
b…cbeda（1文字）
e…cbeda（2文字）
d…cbeda（1文字）
a…cbeda（0文字）
・重み
今回の問題は異なる5個から5個を選ぶので、重みは、\( {}_4 \mathrm{P}_4 \)，\( {}_3 \mathrm{P}_3 \)，\( {}_2 \mathrm{P}_2 \)，\( {}_1 \mathrm{P}_1 \)，\( {}_0 \mathrm{P}_0 \) となります。
| 文字列 | c | b | e | d | a |
| 右側にある自分より 前にある文字の個数 | 2 | 1 | 2 | 1 | 0 |
| 重み | $${}_4 \mathrm{P}_4$$ | $${}_3 \mathrm{P}_3$$ | $$ {}_2 \mathrm{P}_2 $$ | $${}_1 \mathrm{P}_1$$ | $${}_0 \mathrm{P}_0$$ |
よって、
$$ 2×{}_4 \mathrm{P}_4+1×{}_3 \mathrm{P}_3+2×{}_2 \mathrm{P}_2+1×{}_1 \mathrm{P}_1+1 = 60 $$
求める答えは、60（番目）
演習：辞書式配列の公式
a，b，c，d，e，f の6文字から異なる4文字を使って順列を作る。アルファベット順に並べるとき、dbaeは何番目か。
おわりに
以上が辞書式に並べる順列の公式でした。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。
