【確率】積が〜で割り切れる確率｜余事象を利用

（1）\(n\)回投げたとき、\(X\)が3の倍数とならないのは、\(n\)回とも \( \{1, 2, 4, 5\} \) が出るときである。よって、

$$ p_n = 1-\frac{4^n}{6^n} = 1 – \frac{2^n}{3^n} $$

（2）\(n\)回投げたとき、\(X\)が4の倍数とならないのは、次の2つの場合である。
① \(n\) 回とも\( \{1, 3, 5\} \) が出る
② \(n-1\) 回\( \{1, 3, 5\} \) が出て、1回だけ\( \{2, 6\} \) が出る
上記の2つの場合の場合の数を求めると、
① \(3^n\) 通り
② \(n・2・3^{n-1}\) 通り
となるので、
$$ q_n = 1- \frac{3^n+2n・3^{n-1}}{6^n} $$

（3）
\(U\)：全事象
\(A\)：\(X\)が2の倍数でない事象
\(B\)：\(X\)が3の倍数でない事象
とおく。
\(n (A)\) は、\(n\) 回とも\( \{1, 3, 5\} \) が出ればよいので、
$$ n (A)=3^n $$
\(n (B)\) は、\(n\) 回とも\( \{1, 2, 4, 5\} \) が出ればよいので、
$$ n (B)=4^n $$
\(n (A\cap B)\) は、\(n\) 回とも\( \{1, 5\} \) が出ればよいので、
$$ n (A\cap B) = 2^n $$
よって、
$$ n (A\cup B) = n(A)+n(B)-n (A\cap B) = 3^n+4^n-2^n $$
以上より、
$$ r_n = 1- \frac{3^n+4^n-2^n}{6^n} $$