【数学Ⅲ】1/sinxの積分の求め方

こんにちは。今回は\( \displaystyle \int \frac{1}{\sin{x}} dx \)の求め方について解説します。

1/sinxの積分の求め方

早速ですが、\(\displaystyle \int \frac{1}{\sin{x}} dx \)の求め方を解説します。典型的な積分問題ですね。

この積分の解法の主なポイントを次に示します。

解答・解説

ポイント① 分子・分母に\(\sin{x}\)をかける

まず、分子・分母に\(\sin{x}\)をかけます。

\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sin{x}} dx &=& \int \frac{\sin{x}}{\sin^2{x}} dx \\ &=& \int \frac{\sin{x}}{1-\cos^2{x}} dx \end{eqnarray*}

ポイント② \( t = \cos{x} \)とおき、置換積分

次に\( t = \cos{x} \)とおくと、次のようになります。（\( t = \cos{x} \)より\( dt = -\sin{x} dx \)となる）

\begin{eqnarray*} \int \frac{-1}{1-t^2} dx &=& \int \frac{-1}{(1+t)(1-t)} dx \\ &=& \int \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t} \right) dx\\ &=&\frac{1}{2} \left( \log{|1+t|} – \log{|1-t|} \right) +C \\ &=& \frac{1}{2} \log{\left(\frac{1+t}{1-t}\right)} +C \\ &=& \frac{1}{2} \log{\left(\frac{1+\cos{x}}{1-\cos{x}}\right)} +C \end{eqnarray*}

\(-1 \leq \cos{x} \leq 1\)ですから、絶対値の記号は取れることにも、留意しましょう。

まとめ

以上より、\( \displaystyle \frac{1}{\sin{x}} \)の積分は次のように求められました。

$$ \int \frac{1}{\sin{x}} dx = \frac{1}{2} \log{\left(\frac{1+\cos{x}}{1-\cos{x}}\right)} +C $$

\(\sin{x}\)の積分についてはさまざまな大学入試で問われている典型的な問題ですから、ぜひ解けるようにしておきましょう。