こんにちは。今回は2直線の交点の軌跡の求め方を解説していこうと思います。
2直線の交点の軌跡
軌跡を求める入試の典型的な問題で、「2直線の交点の軌跡を求める」問題があります。今回は、この軌跡を求める問題について解説していこうと思います。
軌跡の求め方
前回の記事でも述べましたが、軌跡の求める問題には次の2つのタイプがあるのでした。
大学入試で出題される軌跡の問題は、次の(a)直接軌跡を求めるタイプと(b)パラメータを経由して軌跡を求めるタイプの2つのどちらかの解法で解くことができます。
- (a)の解法で解く問題としては、有名な問題だとアポロニウスの円の問題があります。
- (b)の問題は放物線の弦の中点の軌跡の問題、2直線の交点の軌跡の問題などがあります。
2直線の交点の軌跡の問題は、パラメータを経由して解く問題になります。しかし、2直線の交点の軌跡の問題においては、パラメータ表示を作り、パラメータを消去して、\(x，y\) の式を導くのは計算が煩雑になり、大変なので、パラメータ表示と同値な式を用いて対処することになります。
愚直に交点Pを求めようとすると大変
2直線の交点の軌跡を求める問題とは、具体的には次のような問題です。
\( m \) が実数全体を動くとき、2つの直線 \(mx-y=0 …① \)，\(x+my-m-2=0 …②\) の交点 \(P\) はどのような図形を描くか。
交点 \(P\) の軌跡を求めたいので、交点 \(P\) の座標を実際に求めたくなります。しかし、交点の座標を求めてしまうと、その式は煩雑になり、計算が大変になります。
与式にパラメータ \( m \) が入っているので、交点 \(P\) の座標もパラメータ \( m \) が入る式（パラメータ表示）になります。実際に、直線①と②の交点の座標を求めてみると次のようになります。
$$ x= \displaystyle \frac{m+2}{m^2+1}，y= \frac{m(m+2)}{m^2+1} $$
ここからさらにパラメータ \( m \) を消去して、\(x，y\) の式を求めるには計算が煩雑すぎて、大変です。そこで、\( m \) を消去しやすい、パラメータ表示と同値な式から軌跡を求めた方が計算が煩雑にならず、簡単に軌跡を求めることができます。
パラメータ表示と同値な式
与えられた条件は
\[
\left\{
\begin{array}{l}
mx-y=0\\
x+my-m-2=0
\end{array}
\right.
\]
です。交点Pの座標を\( (x，y) \) とおくと、交点Pの座標は次の式で表されます。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
mx-y=0\\
x+my-m-2=0
\end{array}
\right.
\]
この連立方程式は交点Pの座標を表しているのだから、パラメータ表示と同値な式になります。実際、この連立方程式を解くと、交点Pの座標（パラメータ表示）が求められます。しかし、交点Pの座標から \( m \) を消去するのが大変なので、パラメータ表示と同値な上記の連立方程式から \( m \) を消去して、軌跡を求めるというわけです。
ここまでの話をまとめると、次のようになります。
このようにして、軌跡を求める方法を「逆手流」や「逆像法」と読んでいる参考書もあります。
では、実際に例題を見ていくことにしましょう。
例題と演習
例題：2直線の交点の軌跡の求め方
先ほどの節で扱った例を実際に解いてみましょう。
\( m \) が実数全体を動くとき、2つの直線 \(mx-y=0 …① \)，\(x+my-m-2=0 …②\) の交点 \(P\) はどのような図形を描くか。
方針
交点 \(P\) の座標を求めようとはせず（計算が煩雑）、パラメータ表示と同値な式から軌跡を求めます。交点Pの座標を\( (x，y) \) とおくと、交点Pの座標は次の式で表されます。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
mx-y=0\\
x+my-m-2=0
\end{array}
\right.
\]
交点を \(P \; (x，y) \) とおくと、\( (x，y) \) は次の連立方程式を満たす。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
mx-y=0 …①\\
x+my-m-2=0 …②
\end{array}
\right.
\]
（i）\(x=0\) のとき
①より \(y=0\)
②より \(m=-2\)
（ii）\(x≠0\) のとき
①より \(m=\displaystyle \frac{y}{x}\)
②に代入して
$$ x+\displaystyle \frac{y^2}{x}-\frac{y}{x} -2 =0 $$
整理すると
$$ (x-1)^2+\left(y-\displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{5}{4} $$
ただし、\(x≠0\) なので、2点 \( (0，0) \)，\( (0，1)\) を除いた図形となる。
以上、(i)、(ii)より求める軌跡は
$$ (x-1)^2+\left(y-\displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{5}{4} $$
ただし、\( (0，1)\) を除く。
演習：2直線の交点の軌跡の求め方
2本の直線 \(mx-y=0 …①\)， \(x+my-2m-2=0 …②\) の交点を \(P\) とする。\(m\) が実数全体を動くとき、\(P\) の軌跡を求めよ。
おわりに
今回は、2直線の交点の軌跡の求め方を解説しました。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。
