【三角関数】sinθとcosθの2次同次式の最大・最小の求め方｜次数下げの式で次数を下げよ！

こんにちは。今回は $ \sin{\theta} $ と $ \cos{\theta} $ の2次同次式の最大・最小の求め方について解説していきます。

$ \sin{\theta} $と$\cos{\theta} $の2次同次式の最大・最小
1. 同次式とは
2. 次数下げの式（半角公式）
例題と演習
1. 例題：$ \sin{\theta} $と$\cos{\theta} $の2次同次式の最大・最小
2. 演習：$ \sin{\theta} $と$\cos{\theta} $の2次同次式の最大・最小
おわりに

$ \sin{\theta} $と$\cos{\theta} $の2次同次式の最大・最小

$ \sin{\theta} $ と $ \cos{\theta} $ の2次同次式の最大・最小問題について解説します。

まず、$ \sin{\theta} $ と $ \cos{\theta} $ の2次同次式について解説します。

同次式とは

同・じ次・数の式・のことを同次式といいます。例えば、次のような式が同次式です。

同次式の例

$$ x^2+4xy-2y^2 $$

$$ \sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta} $$

同次式でない例

$$ x^2+y^2+4x+2y -5 = 0 $$

$$ \sin{\theta}\cos{\theta}+\sin{\theta}+\cos{\theta} $$

このように、同次式とは同じ次数の式のことをいいます。特に、その次数が2次の場合を2次同次式といいます。今回、同次式の例として挙げたものは、全て2次同次式となっています。

すなわち、$ \sin{\theta} $ と $ \cos{\theta} $ の2次同次式とは次のような形の式を指します。

$ \sin{\theta} $ と $ \cos{\theta} $ の2次同次式

$$ f(\theta) = A \sin^2{\theta} + B\sin{\theta}\cos{\theta} +C\cos^2{\theta} $$

上の式において、$ \sin{\theta} $ と $ \cos{\theta} $ の次数は2次となっており、同じ次数です。この式の最大最小を求める際には、次数下げの式を使います。

次数下げの式（半角公式）

$ \sin{\theta} $ と $ \cos{\theta} $ の2次同次式の問題では、次数下げの式を用いて、与えられた式の次数を1次に下げます。次数下げの式とは以下の式のことです。

次数下げの式

$$ \sin^2{\theta} = \displaystyle \frac{1-\cos{2\theta}}{2} $$

$$ \cos^2{\theta} = \displaystyle \frac{1+\cos{2\theta}}{2} $$

$$ \sin{\theta}\cos{\theta} = \displaystyle \frac{1}{2} \sin{2\theta} $$

教科書には上2つの式は半角の公式として紹介されていると思いますが、実際の入試では、今回のように、半角の公式として使うことよりも、次数を下げるために用いられることが多いです。

また、一番下の式は、$\sin{\theta}$ の2倍角の公式を2で割っただけの式です。

これら次数下げの式を使って、先ほどの式の次数を下げてみましょう。すなわち

$$ f(\theta) = A \sin^2{\theta} + B\sin{\theta}\cos{\theta} +C\cos^2{\theta} $$

の次数を次数下げの式を用いて次数下げすると、

$$ f(\theta) = D \sin{2\theta}+E\cos{2\theta}+F $$

というように、角度が2倍となる代わりに、次数が1つ下がり、1次の式となります。

さらにこの式の合成を行うと、

$$ f(\theta) = G \sin{(2\theta+\alpha)}+F $$

となるので、最大最小を求めることができる式まで変形することができます。

まとめ

$$ f(\theta) = A \sin^2{\theta} + B\sin{\theta}\cos{\theta} +C\cos^2{\theta} $$

↓次数下げの式

$$ f(\theta) = D \sin{2\theta}+E\cos{2\theta}+F $$

↓三角関数の合成

$$ f(\theta) = G \sin{(2\theta+\alpha)}+F $$

例題と演習

では、例題を見ていくことにしましょう。

例題：$ \sin{\theta} $と$\cos{\theta} $の2次同次式の最大・最小

例題

$ f(\theta)=\cos^2{\theta}+6\sin{\theta}\cos{\theta}+7\sin^2{\theta}+1 \; \left(0\leq\theta\leq\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)$ の最大値と最小値を求めよ。

方針
次数下げの式により次数下げを行い、三角関数の合成をします。

解答

次数下げの式により、与式の次数を下げると、

\begin{eqnarray*} f(\theta) &=& \cos^2{\theta}+6\sin{\theta}\cos{\theta}+7\sin^2{\theta}+1 \\
&=& \displaystyle \frac{1+\cos{2\theta}}{2}+6・\displaystyle \frac{\sin{2\theta}}{2}+7・\displaystyle \frac{1-\cos{2\theta}}{2}+1 \\
&=& 3\sin{2\theta}-3\cos{2\theta}+5
\end{eqnarray*}

となる。三角関数の合成により、合成すると、

\begin{eqnarray*} f(\theta) &=& 3\sin{2\theta}-3\cos{2\theta}+5 \\
&=& 3\sqrt{2} \sin{\left( 2\theta – \frac{\pi}{4} \right)}+5 \\
\end{eqnarray*}

$ 0\leq\theta\leq\displaystyle \frac{\pi}{2} $ のとき、

$$ \displaystyle – \frac{\pi}{4} \leq 2\theta – \frac{\pi}{4} \leq \frac{3}{4} \pi $$

である。この範囲で $f(\theta)$ は

$ 2\theta – \displaystyle \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $ すなわち $ \theta=\displaystyle \frac{\pi}{2} $ のとき、最大値 $3\sqrt{2}+5 $ をとり、

$ 2\theta – \displaystyle \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$ すなわち $ \theta=0 $ のとき、最小値 $2$ をとる

演習：$ \sin{\theta} $と$\cos{\theta} $の2次同次式の最大・最小

演習

$0 \leq \theta \leq \displaystyle $ のとき、関数 $ y =\sqrt{3} \sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta} $ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $ \theta $ の値を求めよ。

演習の答え

次数下げの式により、与式の次数を下げると、

\begin{eqnarray*} f(\theta) &=& \sqrt{3} \sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta} \\
&=& \displaystyle \frac{\sqrt{3} \sin{2\theta}}{2}+\displaystyle \frac{1+\cos{2\theta}}{2} \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2} ( \sqrt{3}\sin{2\theta}+\cos{2\theta} ) +\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

となる。三角関数の合成により、合成すると、

\begin{eqnarray*} f(\theta) &=& \displaystyle \frac{1}{2} ( \sqrt{3}\sin{2\theta}+\cos{2\theta} ) +\frac{1}{2} \\
&=& \sin{\left( 2\theta + \frac{\pi}{6} \right)}+\displaystyle \frac{1}{2} \\
\end{eqnarray*}

$ 0\leq\theta\leq\displaystyle \frac{\pi}{2} $ のとき、

$$ \displaystyle \frac{\pi}{2} \leq 2\theta + \frac{\pi}{6} \leq \frac{7}{6} \pi $$

である。ゆえに

$ 2\theta + \displaystyle \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $ すなわち $ \theta=\displaystyle \frac{\pi}{6} $ のとき、最大値 $\displaystyle \frac{3}{2} $ をとり、

$ 2\theta + \displaystyle \frac{\pi}{6} = -\frac{7}{6}\pi$ すなわち $ \theta=\frac{\pi}{2} $ のとき、最小値 $0$ をとる