こんにちは。今回は \( (x+y，xy) \) で表される領域について、解説していきます。
\( (x+y，xy) \) で表される領域
\( (x+y，xy) \) で表される領域の問題について解説します。有名な入試の典型的な問題の1つですが、経験をしないと、間違えることが多いですから、1回は経験をしておきましょう。
次の例の問題を考えてみましょう。
実数 \(x，y\) が \(x^2+y^2 \leq 1 \) を満たしながら変わるとき、点 \( (x+y，xy) \) の動く領域を図示せよ。
方針としては、\( x+y=X，xy=Y \) とおいて、\(X，Y\) の関係式を導くことを考えます。
条件式は \(x^2+y^2 \leq 1 \) ですから、これを \(X，Y\)で表すことを考えます。\(x^2+y^2\) は対称式ですので、以下のように、基本対称式である \(X，Y\)で表すことができます。
$$ x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = X^2-2Y \leq 1 $$
よって、図示する領域は \( X^2-2Y \leq 1 \) となりますが、これだけでは誤りなので注意しましょう。これ以外にもう1つ条件があります。\( (x+y，xy) \) で表される領域は見えない放物線に注意しましょう。
見えない放物線に注意する
\( X=x+y \)，\( Y= xy \) で表される座標平面上には、そもそも存在しない点があることに注意が必要です。座標平面だと全ての点が存在しそうな気がしますが、存在しない点があることに注意が必要です。
例えば、\( X=x+y \)，\( Y= xy \) で表される座標平面において、\( (X，Y) = (0，-1) \) という点は存在しますが、\( (X，Y) = (0，1) \) という点は存在しません。
まず、\( (X，Y) = (0，-1) \) という点について考えてみましょう。\( X=x+y \)，\( Y= xy \) なので、次の連立方程式を満たす \(x\)，\(y\) が存在する必要があります。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
0 = x+y \\
-1 = xy
\end{array}
\right.
\]
実際にこの連立方程式を解いてみると、\( (x，y) = (1，-1)，(-1，1) \) と存在します。
では、\( (X，Y) = (0，1) \) という点はどうでしょうか。\( X=x+y \)，\( Y= xy \) なので、次の連立方程式を満たす \(x\)，\(y\) が存在する必要があります。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
0 = x+y …①\\
1 = xy …②
\end{array}
\right.
\]
①より \(y=-x\) です。これを②に代入すると、\( x^2 = -1\) となりますが、このような \(x\) は実数の範囲には存在しません。もし \(x\)，\(y\) が虚数なら、\( (x，y) = (i，-i)，(-i，i) \) と存在しますが、実数の範囲では存在しません。
すなわち、\( X=x+y \)，\( Y= xy \) で表される座標平面上には、実数の範囲では存在しない点があるということです。
これより、\(x\)，\(y\) が実数である \( X \)，\( Y \) の領域を考える必要があることが分かります。これのことを換言すれば、\(x\)，\(y\) を解とする方程式が実数解をもつ条件を考えればよい、ということになります。これは、\(x\)，\(y\) を解とする方程式 \( (t-x)(t-y)=0 \) が実数解を持てばよいということです。\( t^2-(x+y)t+xy=0 \) すなわち \( t^2-Xt+Y=0 \) が実数解を持つ条件は \(D=X^2-4Y \geq 0 \) となります。
\( X=x+y \)，\( Y= xy \) で表される座標平面上には、\(x\)，\(y\) が実数である条件を考える必要がある。
$$ Y \leq \frac{1}{4} X^2 $$
実数条件というと、あまり特別な条件という感じがしませんが、複素数、虚数とある中で、ある数が実数であるというのは、実は特別な条件なのです。
例題
例題：\( (x+y，xy) \) で表される領域
実数 \(x，y\) が \(x^2+y^2 \leq 1 \) を満たしながら変わるとき、点 \( (x+y，xy) \) の動く領域を図示せよ。
方針
\( x+y=X，xy=Y \) とおいて、\(X，Y\) の関係式を導きましょう。また、\(x\)，\(y\) が実数である条件も考える必要があります。
\(X=x+y\)，\(Y=xy\) とおく。
仮定より、\(x^2+y^2 \leq 1 \)
よって、\( (x+y)^2-2xy\leq 1 \)
置き換えると、\( X^2-2Y \leq 1 \)
これより、\( Y \geq \displaystyle \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2} …①\)
また、\(x，y\) は実数なので、\(x\)，\(y\) を解とする2次方程式
$$ t^2-(x+y)t+xy=0 $$
が実数解を持たなければならない。すなわち、
$$ t^2-Xt+Y=0 $$
が実数解をもたなければならないので、判別式を \(D\) とすると、
$$ D = X^2-4Y \geq 0 $$
$$ Y\leq \frac{1}{4} X^2 …② \geq 0 $$
①，②から
$$ \displaystyle \frac{1}{2}X^2 – \frac{1}{2} \leq Y \leq \frac{1}{4} X^2 $$
\(x，y\) に置き換えると、
$$ \displaystyle \frac{x^2}{2} – \frac{1}{2} \leq Y \leq \frac{x^2}{4} $$
したがって、求める領域は下図のようになる（ただし、境界を含む）。
演習：\( (x+y，xy) \) で表される領域
実数 \(x，y\) が \(x^2+y^2 \leq 1\) を満たしながら変化するとする。
（1）\(s=x+y\)，\(t=xy\) とするとき，点 \( (x，t) \)の動く範囲を \(st\) 平面上を図示せよ。
（2）負でない整数 \(m \geq 0 \) をとるとき，\(xy+m(x+y)\) の最大値，最小値を \(m\) を用いて表せ。
（東工大）
（1）\(s\)，\(t\)に対し \(x\)，\(y\) を2解とする \(X\) の2次方程式は
$$ X^2-sX+t = 0 …① $$
\(x\)，\(y\) は実数なので，①の判別式を \(D_1\) とすると，
$$ D = s^2 – 4t \geq 0 …②$$
また，\(x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = s^2-2t \) より
$$ s^2-2t \leq 1 …③$$
①かつ③より求める範囲は
$$ \frac{1}{2}s^2-\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{4} s^2 $$
点 \( (s，t) \) の動く範囲は下図の斜線部のようになる。ただし、境界を含む。
（2）\(k=xy+m(x+y)=t+ms\)とおく。この直線を \(L\) とする。
\(L：t=-ms+k\) であり、これは、傾きが \( -m \leq 0 \)、切片 \(k\) の直線を表す。
最大値は、 \( -m \leq 0 \) のとき、\(L\) が点\( \sqrt{2}，\displaystyle \frac{1}{2} ) \) を通るとき最大になる。このとき、最大値は \( k=\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{2}m \)
最小値は、\(L\) が放物線 \(t=\displaystyle \frac{1}{2} s^2 – \frac{1}{2} \) に接するとき（i）と、\(L\) が点\( -\sqrt{2}，\displaystyle \frac{1}{2} ) \) を通る場合(ii)がある。
（i）のとき、すなわち \(-\sqrt{2} \leq s \leq 0 \) のとき
このとき、\(L\) と放物線が接するので、
$$ -ms+k=\displaystyle \frac{1}{2} s^2 – \frac{1}{2} $$
$$ s^2+2ms-2k -1 = 0 …②$$
が重解をもつときで、②の判別式 \(D_2 \) とすると、
$$ D=m^2-(-2k-1)=0 $$
よって、最小値は
$$ k=-\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2} $$
ここで、接点 \(s\) の座標は \(s=-m\) である。
よって、 \(0 \leq m \leq \sqrt{2} \) のときである。
（ii）のとき、すなわち \( m \geq \sqrt{2} \) のとき
このとき \(L\) は点\( -\sqrt{2}，\displaystyle \frac{1}{2} ) \) を通るので、最小値は
$$ k=\displaystyle \frac{1}{2} – \sqrt{2} m $$
以上より、
最大値：\( \displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{2}m \)
最小値：\(0 \leq m \leq \sqrt{2} \) のとき \( -\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2} \)
\( m \geq \sqrt{2} \) のとき \( \displaystyle \frac{1}{2} – \sqrt{2} m \)
まとめ
今回は、\( (x+y，xy) \) で表される領域について扱いました。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。
