今回は、\( \sin{\theta} \) と \( \cos{\theta} \) の対称式の最大と最小の求め方について解説していきます。
\( \sin{\theta} \)と\( \cos{\theta} \)の対称式
\( \sin{\theta} \)と\( \cos{\theta} \)の対称式の問題は、\( t= \sin{\theta}+\cos{\theta} \) とおいて、\(t\) の方程式として求めます。
\( t= \sin{\theta}+\cos{\theta} \) とおく
なぜこのように置くのか、説明していきます。
\( \sin{\theta} \)，\( \cos{\theta} \) の対称式とは
\( \sin{\theta}+ \cos{\theta} \)，\( 3\sin{\theta}+\sin{\theta}\cos{\theta}+ 3\cos{\theta} \) のように \( \sin{\theta} \) と \( \cos{\theta} \) を入れ替えても、元の式と同じになるものを、\( \sin{\theta} \)， \( \cos{\theta} \) の対称式といいます。
対称式の性質
対称式には、次のような重要な性質があります。
全ての対称式は和と積で表現できる
全ての対称式は和と積で表現できます。有名な対称式の式変形だと次のようなものがあります。
$$ a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab $$
$$ a^3+b^3 = (a+b)^3 -3ab(a+b) $$
このように対称式は、和 \(a+b \) と積 \(ab\) で表すことができます。
\( t= \sin{\theta}+\cos{\theta} \) とおく
\( \sin{\theta} \)と\( \cos{\theta} \)の対称式の問題は、和に注目して \( t= \sin{\theta}+\cos{\theta} \) とおきます。積は文字で置く必要がありません。なぜならば、和を \( t\) とおけば、積は簡単に \( t\) で表すことができるためです。
$$ t= \sin{\theta}+\cos{\theta} $$
とおいて、両辺2乗すれば、
$$ t^2= (\sin{\theta}+\cos{\theta})^2 $$
展開すると、
$$ t^2= \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta} + 2\sin{\theta}\cos{\theta} $$
\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\) なので、
$$ t^2= 1 + 2\sin{\theta}\cos{\theta} $$
よって、
$$ \sin{\theta}\cos{\theta} = \displaystyle \frac{t^2-1}{2} $$
このように、\( t\) で表すことができます。
普通の対称式は和と積に着目しますが、\( \sin{\theta} \)と\( \cos{\theta} \)の対称式の問題は、和にのみ着目します。これが、\( \sin{\theta} \)と\( \cos{\theta} \)の対称式の問題のポイントです。
例題と演習
実際に問題を見ていきましょう。
例題：\( \sin{\theta} \)と\( \cos{\theta} \)の対称式
関数 \( f(\theta) = \sin{2\theta} + 2 (\sin{\theta} + \cos{\theta} ) -1 \) を考える。ただし、\(0 \leq \theta < 2 \pi \) とする。
（1）\(t=\sin{\theta}+\cos{\theta}\) とおくとき、\( f(\theta) \) を \(t\) の式で表せ。
（2）\(t\) のとりうる値の範囲を求めよ。
（3）\(f(\theta)\) の最大値と最小値を求め、そのときの \(\theta\) の値を求めよ。
方針
2倍角の公式 \(\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}\) を用いると、与式は
$$ f(\theta) = 2\sin{\theta}\cos{\theta} + 2 (\sin{\theta} + \cos{\theta} ) -1 $$
となる。これは\( \sin{\theta} \)と\( \cos{\theta} \)の対称式である。
（1）\(\sin{\theta}\cos{\theta}\) を \(t\) で表す。
（2）\(\sin{\theta}+\cos{\theta}\) の最大値と最小値を求める。
（3）\(t\) の2次関数の最大・最小問題
（1）2倍角の公式 \(\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}\) を用いると、与式は
$$ f(\theta) = 2\sin{\theta}\cos{\theta} + 2 (\sin{\theta} + \cos{\theta} ) -1 …①$$
となる。これは\( \sin{\theta} \)と\( \cos{\theta} \)の対称式である。
ここで、\(t=\sin{\theta}+\cos{\theta}\) の両辺を2乗すると
$$ t^2 = \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta} +2 \sin{\theta}\cos{\theta} $$
ゆえに
$$ t^2 = 1 + 2 \sin{\theta}\cos{\theta} $$
すなわち、
$$ \sin{\theta}\cos{\theta} = \frac{t^2-1}{2} $$
これを用いて①を \(t\) で表すと
$$ f(\theta) = t^2 + 2t -2 $$
（2）三角関数の合成を行うと、
$$ t=\sin{\theta}+\cos{\theta} = \sqrt{2} \sin{ \left(\theta + \displaystyle \frac{\pi}{4} \right) } $$
となる。\(0 \leq \theta < 2 \pi \) より \( \displaystyle \frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9}{4}\pi \) であるから
$$ -1 \leq \sin{\left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)}\leq 1 $$
よって
$$ -\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} $$
（3）（1）より
$$ f(\theta) = t^2 + 2t -2 = (t+1)^2-3 $$
である。\( -\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} \) において、
\( f(\theta) \) は \( t = \sqrt{2} \) のとき最大値 \( f(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \) をとる
\( f(\theta) \) は \( t = -1 \) のとき最小値 \( f(-1) = -3 \) をとる
\( t=\sqrt{2} \) のとき
$$ \sqrt{2} \sin{\left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)} = \sqrt{2} $$
\( \displaystyle \frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9}{4}\pi \) のとき、解くと
$$ \theta+ \displaystyle \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$
すなわち
$$ \theta = \displaystyle \frac{\pi}{4} $$
\( t=-1 \) のとき
$$ \sqrt{2} \sin{\left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)} = -1 $$
\( \displaystyle \frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9}{4}\pi \) のとき、解くと
$$ \theta+ \displaystyle \frac{\pi}{4} = \frac{5}{4}\pi，\frac{7}{4}\pi $$
すなわち
$$ \theta = \pi，\displaystyle \frac{3}{2}\pi $$
以上より
$$ \theta = \displaystyle \frac{\pi}{4} \: のとき最大値\:2\sqrt{2}\:をとる $$
$$ \theta = \pi，\displaystyle \frac{3}{2}\pi \:のとき最小値\:-3\:をとる $$
演習：\( \sin{\theta} \)と\( \cos{\theta} \)の対称式
\(0 \leq \theta < 2 \pi \) のとき、関数 \( y = 2\cos{\theta}\sin{\theta} -4 \sin{\theta} -4 \cos{\theta} …①\) は \( \theta = \fbox{ あ } \) のとき最大値をとり、\(y\) の最小値は \( \fbox{ い } \) である。
おわりに
今回は、\( \sin{\theta} \) と \( \cos{\theta} \) の対称式の最大と最小の問題について解説しました。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。
