こんには。今回は三角関数を \( \cos{} \) で合成する方法について解説していきます。
三角関数をcosで合成する方法
まず、三角関数の \( \cos{} \) 版の合成公式について紹介します。
三角関数の合成公式
三角関数を \( \cos{} \) で合成するには次の公式を使います。
$$ a \cos{\theta} + b \sin{\theta} = \sqrt{a^2+b^2} \cos{ (\theta + \alpha )} $$
注意：角度 \(\alpha\) は \(-b\) としたときの角度をとる。
合成の例
上記の合成の公式を使うと、例えば、
$$ \sqrt{3} \cos{\theta} + \sin{\theta} = 2 \cos{\left(\theta \; + \displaystyle \frac{11}{6} \pi \right)} $$
もしくは
$$ \sqrt{3} \cos{\theta} + \sin{\theta} = 2 \cos{\left(\theta \; – \displaystyle \frac{\pi}{6} \right)} $$
と \( \cos \) で合成することができます。
三角関数の合成公式の覚え方
三角関数の \( \cos{} \) 版の合成公式は、\( \sin{} \) の合成公式と対応させると覚えやすいと思います。
\( \cos{} \) の合成が \( \sin{} \) の合成と違うのは、角度 \(\alpha\) をとるときに、\(-b\) としたときの角度をとることだけで、他は全部 \( \sin{} \) の合成と同じです。
練習
では、少し練習してみましょう。
練習1
次の式を \(r\cos{(\theta+\alpha)}\)の形に変形せよ。
$$ \cos {\theta} +\sqrt{3} \sin{\theta} $$
$$ \cos{\theta} + \sqrt{3} \sin{\theta} = 2 \cos{\left(\theta \; + \displaystyle \frac{5}{3} \pi \right)} $$
もしくは
$$ \cos{\theta} + \sqrt{3} \sin{\theta} = 2 \cos{\left(\theta \; – \displaystyle \frac{\pi}{3} \right)} $$
練習2
次の式を \(r\cos{(\theta+\alpha)}\)の形に変形せよ。
$$ \sqrt{3} \cos {\theta} – \sin{\theta} $$
$$ \sqrt{3} \cos {\theta} – \sin{\theta} = 2 \cos{\left(\theta \; + \displaystyle \frac{\pi}{6} \right)} $$
練習3
次の式を \(r\cos{(\theta+\alpha)}\)の形に変形せよ。
$$ \sqrt{2} \cos {\theta} – \sqrt{6} \sin{\theta} $$
$$ \sqrt{2} \cos {\theta} – \sqrt{6} \sin{\theta} = 2\sqrt{2} \cos{\left(\theta \; + \displaystyle \frac{\pi}{3} \right)} $$
練習4
次の式を \(r\cos{(\theta+\alpha)}\)の形に変形せよ。
$$ 3 \cos {\theta} + 2 \sin{\theta} $$
$$ 3 \cos {\theta} + 2 \sin{\theta} = \sqrt{13} \cos{(\theta \; + \alpha )} $$
ただし，\( \cos{\alpha}= \displaystyle \frac{3}{ \sqrt{13}}，\sin{\alpha}= -\displaystyle \frac{2}{ \sqrt{13}} \)
\(\cos\) での合成はマイナスにとるので、今回の場合、\(\sin\) がマイナスになります。
なぜこの合成になるのか
ここで、なぜこのような合成になるのか、解説をします。
合成は加法定理の逆
合成は加法定理の逆の操作をしています。例えば、\( \sin{} \) の合成は、\(sin{} \) の加法定理の逆の操作を行なっています。\( r= \sqrt{a^2+b^2 \) とすると、
\begin{eqnarray*}
a\sin{\theta}+b\cos{\theta} &=& r\cos{\alpha}\sin{\theta} + r \sin{\alpha} \cos{\theta} \\
&=& r( \cos{\alpha}\sin{\theta} + \cos{\theta} \sin{\alpha} ) \\
&=& r\sin{(\theta+\alpha)}
\end{eqnarray*}
となります。同様に、\( \cos{} \) の合成も、\(cos{} \) の加法定理の逆の操作を行います。\( r= \sqrt{a^2+b^2 \) とすると、
\begin{eqnarray*}
a\cos{\theta}+b\sin{\theta} &=& r\cos{\alpha}\cos{\theta} + r \sin{\alpha} \sin{\theta} \\
&=& r( \cos{\alpha}\cos{\theta} + \sin{\alpha} \sin{\theta} ) \\
&=& r\cos{(\theta-\alpha)}
\end{eqnarray*}
おわりに
今回は、三角関数を \( \cos{} \) で合成する方法について解説しました。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。
