2次不定方程式の解き方について解説します。
2次不定方程式の解き方
2次不定方程式の解き方について解説します。
2次不定方程式の解き方
2次不定方程式には、「楕円型方程式」と「双曲線型方程式」の2種類あります。まずは、与えられた方程式が「楕円型方程式」か「双曲線型方程式」のどちらかを見抜きましょう。見抜いた後は、それぞれの解き方で解いていけば良いです。
①「楕円型方程式」か「双曲線型方程式」のどちらかを見抜く
② どちらか見抜いたら、
楕円型方程式なら「範囲を絞る」
双曲線型方程式なら「因数分解し、積＝一定の形に変形する（ことが多い）」
上記のように解きます。ただし、双曲線型方程式の場合であっても、因数分解できないことがあります。ただし、そのような場合は、大抵、誘導が付いていますので、誘導に従って解き進めてください。
2次不定方程式の見抜き方
与えられた2次不定方程式が「楕円型方程式」か「双曲線型方程式」のどちらかを見抜き方についてですが、与えられた方程式を平方完成をして、「2乗＋2乗」の形になれば楕円型、一方で「2乗ー2乗」の形になれば双曲線型になります。
与えられた2次不定方程式を平方完成し、
「2乗＋2乗」なら「楕円型」
「2乗ー2乗」なら「双曲線型」
になります。
理系の人であれば、数学Cにおいて、2次曲線の公式を習っているので、想像しやすいと思います。
楕円：\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \)
双曲線：\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = \pm 1 \)
例：2次不定方程式の見抜き方
では、ここで、2次不定方程式の見抜き方の練習をしてみましょう。次の2次不定方程式は、楕円型でしょうか、双曲線型でしょうか。
例1：\(x^2+2xy+3y^2=27\)
式変形すると、\( (x+y)^2+2y^2 = 27\) となり、「2乗＋2乗」の形になるので、「楕円型」です。このタイプは、範囲を絞って解きます。
例2：\(x^2+2xy-8y^2=28\)
式変形すると、\( (x+y)^2-9y^2=28\) となり、「2乗ー2乗」の形になるので、「双曲線型」です。このタイプは、因数分解できることが多いです。
ちなみに、なぜ楕円型だと範囲を絞り、双曲線型だと因数分解＋積＝一定に式変形するのかについてですが、それは、楕円と双曲線のグラフの形を考えると、分かると思います。
数Cを勉強した人は分かると思いますが、楕円は、円を押しつぶしたような形になります。不定方程式の解があるとすれば、その解は、楕円の存在している範囲内にしかありませんから、範囲を絞るのが有効なわけです。
一方で、双曲線は、漸近線に向かって無限に伸びていくので、範囲を絞ることができません。なので、因数分解を行い、積＝一定の形に持ち込むのが有効になる可能性が高いのです。
以上のことを念頭におき、実際に問題を解いてみることにしましょう。
例題：2次不定方程式
次の等式を満たす整数 \(x\)，\(y\) の組を全て求めよ。
（1）\(x^2+2xy+3y^2=27\)
（2）\(x^2+2xy-8y^2=28\)
方針
（1）式変形をすると、\( (x+y)^2+2y^2 = 27\) となり、「2乗＋2乗」の形になるので、「楕円型」です。このタイプは、範囲を絞って解きます。
（2）式変形すると、\( (x+y)^2-9y^2=28\) となり、「2乗ー2乗」の形になるので、「双曲線型」です。このタイプは、因数分解できることが多いです。
（1）\(x^2+2xy+3y^2=27 \)
\( (x+y)^2+2y^2 = 27 \)
これより、
\(2y^2 \leq 27 \)
\(y^2 \leq \displaystyle \frac{27}{2} \)
\( -\displaystyle \frac{\sqrt{54}}{2} \leq y \leq \frac{\sqrt{54}}{2} \)
\(y\) は整数であるから
\(y=-3，-2，-1，0，1，2，3 \)
・\(y=-3\) のとき
\(x^2-6x=0\)
\( x(x-6)=0\)
\(x=0，6\)
・\(y=-2\) のとき
\( x^2-4x-15=0\)
このとき、\(x\) は整数にならないので、不適
・\(y=-1\) のとき
\( x^2-2x-24=0\)
\((x+4)(x-6)=0\)
\( x=-4，6\)
・\(y=0\) のとき
\( x^2=27\)
このとき、\(x\) は整数にならないので、不適
・\(y=1\) のとき
\( x^2+2x-24=0\)
\((x-4)(x+6)=0\)
\( x=-6，4\)
・\(y=2\) のとき
\( x^2+4x-15=0\)
このとき、\(x\) は整数にならないので、不適
・\(y=3\) のとき
\(x^2+6x=0\)
\( x(x+6)=0\)
\(x=0，-6\)
以上より、
$$ (x，y) = (0，-3)，(6，-3)，(-4，-1)，(6，-1)，(-6，1)，(4，1)，(0，3)，(-6，3) $$
（2）\(x^2+2xy-8y^2=28\)
\( (x+4y)(x-2y)=28\)
$$ (x+4y，x-2y) = (1，28)，(2，14)，(4，7)，(7，4)，(14，2)，(28，1) $$
よって、
$$ (x，y) = (19，- \displaystyle \frac{9}{2})，(10，-2)，(6，-\displaystyle \frac{1}{2})，(5，\displaystyle \frac{1}{2})，(6，2)，(10，\displaystyle \frac{9}{2}) $$
以上より、
$$ (x，y) = (10，-2)，(6，2)$$
（1）は、\(x\) の2次方程式
$$ x^2+2yx+3y^2-27=0 $$
とみなして解くこともできます。
\(x\) の2次方程式
$$ x^2+2yx+3y^2-27=0 $$
において、この2次方程式は整数解 \(x\) をもつから、
$$ D/4 = -2y^2+27 \geq 0 $$
よって、
$$ 2y^2 \leq 27 $$
（以下、本解と同じ）
演習：2次不定方程式
次の等式を満たす自然数 \(x\)，\(y\) の組を全て求めよ。
（1）\(x^2-4xy+5y^2-3y+2=0\)
（2）\(4x^2-y^2=12\)
おわりに
今回は、2次不定方程式の解き方について解説しました。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。
